「弁償算」は、中学受験の定番の内容です。

2つ以上の異なる種類のものがあり、その合計数だけがわかっているときに、それぞれいくつずつあるかを考えるという問題です。
保護者の方にとっては、連立方程式等で解けると思いますが、小学生の子どもたちには方程式は知りません。
方程式を使わずにご家庭で「弁償算」をお子さんに教える際に、教え方が分からないと困っている方もいると思います。

弁償算の基本の3パターン

それでは以下の3つのパターンを考えてみましょう。同じようにお子さんに教えてもらえたらいいです。特に、数式だけで理解させるのではなく、方程式のやり方をかみ砕く形での解法となりますので、「型」を覚えてほしいと思います。

  【解法1】ゲームの勝ち負け(面積図)
  【解法2】弁償算の意味
  【解法3】階段の上り下り(じゃんけん)

【弁証算の解法1】ゲームの勝ち負け(面積図)

弁償算の解法の手順を整理します。
面積図を使った解き方は、以下のようになります。

手順①
問題文を読んで、面積図を書いて見ましょう。

横の長方形を
  <勝ち> 縦:得点(5点) 横:回数(勝った回数)・・・(ア)

縦の長方形を
  <負け> 縦:得点(2点) 横:回数(負けた回数)・・・(イ)

また、この2つの長方形の重なる部分も書いておきます。 ・・・(ウ)


手順② 得点の差を考えておきます。
56-20=36(点)増えています。

これを面積図で確認すると
  (ア)-(イ)=36(点)


手順③ 面積図の重なっている部分を考えます。
  (ア)ー(イ)
= {(ア)+(ウ)}-{(イ)+(ウ)}
= 36(点)

  (ア)+(ウ)
= 5(点)×(勝った回数+負けた回数)
= 5×10
= 50(点)

  50(点)-{(イ)+(ウ)}=36(点)
 (イ)+(ウ)=50-36=14(点)


手順④ 負けた回数を求めて、勝った回数を求めます。

面積図より
  (イ)+(ウ)=(2+5)×負けた回数=14(点)

よって、負けた回数=14÷7=2(回)
  10-2=8(回)    勝った回数は8回・・・(答)

※答えが出た後は、問題に合っているか確認をすることを忘れないようにしましょう。

【解法2】弁償算の意味

1個当たりの弁償分に注目して解いていきます。

※つるかめ算の応用ですので、2パターンの解き方で考えてみましょう。
 1⃣すべて運べた 2⃣すべて割った

1⃣すべて運べた

手順① 「すべて運べた」として報酬の合計を考えます。

 すべて運べたとすると報酬の合計(総額)は
  10(円)×100(個)=1000(円)


手順② <重要>運べた→割った ときの金額の差を考えます。

 1個運べずに割ってしまうと
  10(報酬分)+70(弁証分)=80(円)
 引かれてしまうことになります。


手順③ 割った個数を求めます。

 報酬額が680円なので、
  1000-680=320(円)分 引けばいいので
  320(円)÷80(円)=4(個)
  4個・・・(答)

2⃣すべて割った

手順① 「すべて割った」として報酬の合計を考えます。

 すべて割ったとすると弁証代の総額は
  70(円)×100(個)=7000(円)


手順②<重要>割った→運べた ときの金額の差を考えます。

 1個割らずに運べると
  10(報酬分)+70(弁証分)=80(円)弁償代が減ります。


手順③ 運べた個数を求めます。

 報酬額が680円なので、
  7000+680=7680(円) 
  ※680円は(+)、7000円は(-)なのでその差を考える

  7680(円)÷80(円)=96(個)運べたことになるので 
  100-96=4
  4個・・・(答)

※答えが出た後は、問題に合っているか確認をすることを忘れないようにしましょう。

【解法3】階段の上り下り(じゃんけん)

こちらの問題についても見ていきましょう。

手順① 問題文が長いので、はじめに条件を整理しましょう。

 ・15回じゃんけん
 ・A君は最初の位置から19段上
 ・B君の位置はわからない
 ・A君のあいこの数は負けた回数より2回多い


手順② あいこの回数と負けの回数を考えます。

 A君がすべて勝ったとします。

 5×15=75段となりますが、実際は19段なので、少なくとも1回は負けていることが分かります。また、あいこの回数も少なくとも(1+2=)3回はあったということになります。

  勝ち1回→負け1回 5+3=8段の差
  勝ち1回→あいこ1回 5-1=4段の差


<重要>
負けを1回増やすと、あいこも1回増やさないといけませんので、
勝ち2回→負け1回+あいこ1回 8+4=12段の差 となります。



手順③ 勝ちの回数からあいこの回数と負けの回数を求めます。

 少なくともあいこは3回なので、
 あいこ3回、負け1回の場合を考えます。

  75-8(負け)-4×3(3回あいこ)=55(段)

 ここから19段までの差を考えると

  55-19=36(段)となり、

 勝ち6回→負け3回+あいこ3回(=12×3=36段)と変換すればいいので

 あいこ 3+3=6(回)
 負け 1+3=4(回) 
 勝ち 15-(6+4)=5(回)・・・(答)


手順④ B君の位置を求めます。

A君の勝敗が 勝ち 5回 負け 4回 あいこ 6回なので
B君の勝敗は 勝ち 4回 負け 5回 あいこ 6回となります。
(勝ち負けが反対)

上に上がる分は 5段×4回+1段×6回=26段
下に下がる分は 3段×5回=15段
 26-15=11段

B君は最初の位置より11段上にいる・・・(答)    

※答えが出た後は、問題に合っているか確認をすることを忘れないようにしましょう。

弁証算の教え方のまとめ

 弁証算の考え方はつるかめ算の応用になります。まずはつるかめ算の練習を行ってから、弁証算の問題にチャレンジするようにしましょう。得する・損する、そしてその差の考え方がとても重要になりますので、解説の式だけ覚えるのではなく、意味をしっかり理解するようにしましょう。

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山下 拓海
山下 拓海
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